이항분포 — 베르누이 시행의 수학

💡 왜 필요할까요?

반도체 공장에서 1000개의 칩을 생산할 때 불량률이 2%라면, 불량품 수 $X \sim B(1000, 0.02)$이고 $E(X) = 20$개, $\sigma(X) \approx 4.4$개입니다. 이 숫자로 생산 로트의 합격 여부를 통계적으로 판정합니다.

📜 역사 이야기

17세기 말, 스위스 수학자 야코프 베르누이는 도박과 보험 문제를 연구하면서 반복적인 시행에서 나타나는 패턴을 발견했습니다. 그는 "결과가 두 가지뿐인 시행을 독립적으로 반복할 때 특정 결과가 몇 번이나 나오는가?"라는 질문에 체계적으로 답하는 방법을 개발했습니다. 이 단순한 질문이 현대 확률론의 초석이 됩니다. 베르누이는 사후 8년이 지난 1713년에 출판된 《추측술(Ars Conjectandi)》에서 이 이론을 완성했습니다. 이 책에서 그는 동전을 $n$번 던졌을 때 앞면이 $k$번 나올 확률이 $\binom{n}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^n$임을 증명하고, 더 일반적으로 성공 확률이 $p$인 시행을 $n$번 반복할 때의 공식 $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$를 도출했습니다. 《추측술》에는 또 하나의 위대한 발견이 담겨 있습니다. 바로 **큰 수의 법칙(Law of Large Numbers)**입니다. 시행 횟수가 늘어날수록 상대도수가 이론적 확률에 가까워진다는 이 정리는 보험업과 통계학의 철학적 기반이 되었습니다. 오늘날 생명보험사가 사망률 통계로 보험료를 계산할 수 있는 것은 베르누이 덕분입니다. 이항분포는 단순해 보이지만 현대 사회 곳곳에 숨어 있습니다. 반도체 칩 하나하나의 불량 여부(품질관리), 신약이 환자에게 효과가 있는지(임상시험), 여론조사에서 몇 명이 후보를 지지하는지(선거 예측) — 모두 이항분포의 응용입니다.

"확실한 것과 불확실한 것을 구별하는 것이 수학의 임무다." — 야코프 베르누이

🔬 직접 발견하기

📐 공식 이해하기

$X \sim B(n, p)$: $n$번의 독립 베르누이 시행에서 성공 횟수. $\binom{n}{k}$는 $n$개 중 $k$개를 고르는 경우의 수, $p^k$는 $k$번 성공할 확률, $(1-p)^{n-k}$는 나머지 $(n-k)$번 실패할 확률입니다.

$n$

시행 횟수 (자연수)

$p$

한 번의 시행에서 성공할 확률 ($0 < p < 1$)

$k$

성공 횟수 ($0 \leq k \leq n$)

E(X)

기댓값 — 평균 성공 횟수

V(X)

분산 — 성공 횟수의 산포도

1. 1
   $n$번 시행 중 $k$번 성공하는 특정 순서 하나의 확률: $p^k(1-p)^{n-k}$
2. 2
   $n$번 중 $k$번을 선택하는 경우의 수: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
3. 3
   모든 순서를 더하면: $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
4. 4
   기댓값: $E(X) = \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = np$ (이항급수 미분으로 유도)
5. 5
   분산: $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = np(1-p)$ (이항정리 두 번 미분)

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