이차곡선 — 포물선·타원·쌍곡선

💡 왜 필요할까요?

위성 TV 안테나의 접시 모양은 포물선 단면입니다. 전파가 포물선에 반사되어 한 점(초점)에 모이기 때문입니다. 지구 주위 위성의 궤도는 타원, 태양계를 탈출하는 혜성의 궤적은 쌍곡선입니다.

📜 역사 이야기

기원전 262년경 소아시아 페르가에서 태어난 아폴로니오스(Apollonius of Perga)는 알렉산드리아 도서관에서 공부하며, 인류 역사상 가장 체계적인 원뿔곡선 연구서를 저술했습니다. 그의 8권짜리 대작 《원뿔곡선론(Conics)》은 하나의 원뿔을 서로 다른 각도로 자르면 세 가지 곡선이 나온다는 것을 증명했습니다. 수직으로 자르면 포물선(parabola), 기울여 자르면 타원(ellipse), 반대쪽 원뿔도 자르도록 더 기울이면 쌍곡선(hyperbola)이 됩니다. '포물선'이라는 단어 자체가 아폴로니오스가 만든 그리스어입니다. 놀랍게도 이 고대 그리스 수학이 1800년 후 천문학 혁명을 일으킵니다. 1609년 요하네스 케플러(Johannes Kepler)는 화성의 관측 데이터를 분석하다가 행성이 원이 아닌 **타원** 궤도로 태양 주위를 돈다는 것을 발견했습니다(케플러 제1법칙). 갈릴레오가 포탄 궤적이 **포물선**임을 증명했고, 아이작 뉴턴은 중력 이론으로 혜성 궤도가 **쌍곡선**이 될 수 있음을 보였습니다. 2300년 전 추상적인 기하학으로 탐구된 원뿔곡선이 태양계 전체를 설명하는 도구가 된 것입니다. 현대에도 이차곡선은 어디에나 있습니다. 위성 안테나의 오목한 반사경은 포물선 단면이며, 모든 전파를 초점으로 모읍니다. GPS 위성의 쌍곡선 항법(LORAN)은 두 전파탑으로부터의 거리 차가 일정한 점들의 집합(쌍곡선)을 이용합니다. 자동차 전조등 반사경도 포물선입니다.

"포물선, 타원, 쌍곡선 — 이 세 곡선이 우주의 운동을 지배한다." — 요하네스 케플러 (원뿔곡선 응용 후)

🔬 직접 발견하기

📐 공식 이해하기

포물선 $y^2=4px$: 초점 $(p,0)$, 준선 $x=-p$. 타원 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$): 초점 $(\pm c, 0)$, $c^2=a^2-b^2$. 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$: 초점 $(\pm c, 0)$, $c^2=a^2+b^2$.

$p$

포물선의 초점까지 거리

a, b

타원/쌍곡선의 장반축, 단반축

$c$

중심에서 초점까지 거리

$e$

이심률 $e = c/a$

1. 1
   포물선 정의: 초점 $F(p,0)$까지의 거리 = 준선 $x=-p$까지의 거리인 점의 궤적
2. 2
   타원 정의: 두 초점 $F_1, F_2$까지의 거리의 합이 일정한($2a$) 점의 궤적
3. 3
   쌍곡선 정의: 두 초점까지의 거리의 차의 절댓값이 일정한($2a$) 점의 궤적
4. 4
   이심률: $e = c/a$ (포물선 $e=1$, 타원 $e<1$, 쌍곡선 $e>1$)

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