지수·로그함수의 미분 — e^x와 ln x

💡 왜 필요할까요?

코로나19 초기 확산 속도 $P'(t) = kP(t)$는 지수함수 미분의 직접적인 응용입니다. 백신 개발 속도를 결정하는 항체 농도 감소 곡선, 탄소 연대 측정의 방사성 붕괴율, 스마트폰 배터리 방전 모델 — 모두 $(e^x)' = e^x$에서 출발합니다.

📜 역사 이야기

레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707-1783)는 수학사에서 가장 많은 글을 남긴 수학자로, 900편이 넘는 논문과 책을 출판했습니다. 그는 바젤에서 목사의 아들로 태어나 13세에 바젤대학에 입학했고, 수학 천재 베르누이 가문의 지도를 받으며 성장했습니다. 오일러가 1727년 상트페테르부르크로 이주하여 수학·물리학을 연구하던 중, 그는 자연상수 $e$의 성질을 체계적으로 연구했습니다. 오일러는 $e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$임을 증명하고, $e^x$의 미분이 자기 자신 $(e^x)' = e^x$라는 놀라운 성질을 발견했습니다. 세상에 자기 자신을 미분하면 자기 자신이 나오는 함수는 $e^x$와 그 상수배 $ce^x$뿐입니다. 1748년 오일러는 《무한 해석학 개론(Introductio in analysin infinitorum)》에서 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$라는 오일러 공식을 발표했습니다. 여기서 $x = \pi$를 대입하면 $e^{i\pi} + 1 = 0$ — 역사상 가장 아름다운 공식으로 꼽히는 '오일러 등식'이 탄생합니다. 이 공식은 지수함수와 삼각함수 미분이 깊이 연결되어 있음을 보여줍니다. 오일러는 생애 말년에 시력을 완전히 잃었지만, 머릿속으로 복잡한 계산을 수행하며 연구를 계속했습니다. 그의 이름은 오늘날 수학의 거의 모든 분야에 등장합니다.

"수학은 아름다움과 진리의 탐구이며, $e^{i\pi}+1=0$이 그 완벽한 예이다."

🔬 직접 발견하기

📐 공식 이해하기

지수·로그 미분의 4대 공식. $(e^x)' = e^x$는 $e$를 밑으로 사용하는 이유 자체입니다. $(\ln x)' = 1/x$는 $(e^x)' = e^x$의 역함수 미분으로 유도됩니다. 일반 밑 $a$에는 $\ln a$ 보정 항이 붙습니다.

$e$

자연상수 $\approx 2.71828$, $e = \lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n$

ln x

자연로그, $e$를 밑으로 하는 로그

$a$

로그의 밑 ($a > 0, a \neq 1$)

1. 1
   $(e^x)' = \lim_{h\to0} \dfrac{e^{x+h} - e^x}{h} = e^x \lim_{h\to0} \dfrac{e^h - 1}{h} = e^x \cdot 1 = e^x$
2. 2
   역함수 미분: $y = \ln x \Leftrightarrow x = e^y$이므로 $\dfrac{dx}{dy} = e^y$, 역수를 취하면 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{e^y} = \dfrac{1}{x}$
3. 3
   $(a^x)' = (e^{x\ln a})' = e^{x\ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a$ (연쇄법칙)
4. 4
   $(\log_a x)' = \left(\dfrac{\ln x}{\ln a}\right)' = \dfrac{1}{\ln a} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x \ln a}$

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