미분법 — 다항함수 미분 공식

💡 왜 필요할까요?

물리학에서 위치함수 $s(t)$를 미분하면 속도 $v(t) = s'(t)$가 되고, 다시 미분하면 가속도 $a(t) = v'(t) = s''(t)$가 됩니다. 경제학에서는 비용함수 $C(x)$를 미분하여 한계비용 $C'(x)$를 구하고, AI 신경망 훈련에서는 손실함수를 수백만 번 미분하는 역전파(backpropagation)로 최적의 가중치를 찾습니다.

📜 역사 이야기

고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)는 철학자이자 외교관이면서 동시에 역사상 가장 창의적인 수학자 중 한 명이었습니다. 그는 파리에서 외교 임무를 수행하던 중 네덜란드 수학자 호이겐스(Huygens)를 만나 수학을 본격적으로 공부하기 시작했습니다. 1675년, 라이프니츠는 불과 몇 주 사이에 미분법과 적분법의 기본 규칙들을 대부분 완성하고, $dx$, $dy$, $\int$, $\frac{dy}{dx}$ 같은 표기법을 창안했습니다. 1684년 라이프니츠는 논문 《Nova Methodus pro Maximis et Minimis》(극대·극소를 구하는 새로운 방법)에서 처음으로 미분법 규칙들을 공개 출판했습니다. 이 논문에서 그는 합의 미분법 $(u + v)' = u' + v'$, 곱의 미분법 $(uv)' = u'v + uv'$, 몫의 미분법을 모두 발표했습니다. 놀랍게도 뉴턴도 비슷한 시기에 독립적으로 미분법('유율법')을 발견했지만, 뉴턴의 표기 $dot{x}$보다 라이프니츠의 rac{dy}{dx} 표기가 훨씬 계산하기 편리했습니다. 라이프니츠의 rac{dy}{dx} 표기는 단순한 기호가 아니었습니다. 이 표기 덕분에 연쇄법칙 rac{dy}{dx} = rac{dy}{du} cdot rac{du}{dx}가 마치 분수의 약분처럼 직관적으로 이해됩니다. 유럽 대륙의 수학자들은 라이프니츠의 표기법을 채택했고, 이것이 오늘날 전 세계 수학 교육의 표준이 되었습니다. 라이프니츠와 뉴턴 사이의 '미적분 우선권 논쟁'은 수학사에서 가장 뜨거운 논쟁 중 하나였습니다. 현재는 두 사람이 독립적으로 발견했다는 것이 정설입니다. 하지만 미분법 공식의 기호와 체계는 라이프니츠의 것을 사용합니다.

"자연은 비약하지 않는다(Natura non facit saltus) — 모든 변화는 연속적이다."

🔬 직접 발견하기

📐 공식 이해하기

다항함수 미분의 5대 공식입니다. 거듭제곱 미분 $(x^n)' = nx^{n-1}$이 기본이 되고, 상수배·합·차 규칙은 미분을 항별로 나누어 계산하게 해 줍니다. 곱의 미분법과 몫의 미분법은 두 함수의 곱·나눗셈을 미분할 때 사용합니다.

f, g

미분 가능한 함수

$n$

지수 (실수)

$c$

상수

f'

$f$의 도함수

g'

$g$의 도함수

1. 1
   극한 정의에서 출발: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$
2. 2
   거듭제곱: $(x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \cdots$이므로 $\dfrac{(x+h)^n - x^n}{h} \to nx^{n-1}$
3. 3
   합의 미분: $\dfrac{[f(x+h)+g(x+h)] - [f(x)+g(x)]}{h} = \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} + \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \to f' + g'$
4. 4
   곱의 미분: $\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$에 $+f(x+h)g(x) - f(x+h)g(x)$ 더하고 빼서 정리하면 $f'g + fg'$

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📋 수능 기출 문제