삼각함수의 미분 — sin·cos·tan 미분

💡 왜 필요할까요?

교류 전류 $I(t) = I_0\sin(\omega t)$의 미분 $I'(t) = I_0\omega\cos(\omega t)$는 전압의 변화율입니다. 전기 엔지니어는 이 값으로 회로 인덕턴스(코일의 저항)를 설계합니다. 지진계는 지면의 삼각함수 진동을 미분하여 가속도를 측정하고, 건물의 내진 설계에 활용합니다.

📜 역사 이야기

삼각함수의 미분은 뉴턴과 라이프니츠의 미적분학 발전과 함께 탄생했습니다. 뉴턴(Isaac Newton, 1643-1727)은 1669년 물리학에서 행성 궤도를 계산하면서 $\sin$과 $\cos$의 순간 변화율이 필요했습니다. 그는 유율법(method of fluxions)이라는 이름으로 이 계산을 수행했지만, 표기법이 복잡해서 전파가 느렸습니다. 라이프니츠(Gottfried Leibniz, 1646-1716)는 1684년에 현대적인 $\frac{d}{dx}$ 표기법으로 삼각함수 미분을 체계화했습니다. 그가 발견한 핵심 사실은 "$(\sin x)' = \cos x$"와 "$(\cos x)' = -\sin x$"가 바로 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$이라는 극한에서 수학적으로 도출된다는 것이었습니다. 삼각함수 미분이 혁명적인 이유는 자연계의 모든 주기적 현상—음파, 빛의 파동, 전자기파, 지진파—이 사인파로 표현되기 때문입니다. 오늘날 스마트폰이 MP3를 재생하거나 Wi-Fi를 통해 데이터를 주고받을 수 있는 것도 푸리에 변환(Fourier transform) 덕분인데, 그 핵심이 바로 삼각함수의 미분·적분입니다.

"나는 거인들의 어깨 위에 서 있었기 때문에 더 멀리 볼 수 있었다." — 아이작 뉴턴

🔬 직접 발견하기

📐 공식 이해하기

삼각함수 3대 미분 공식. $(\sin x)' = \cos x$는 $\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}$를 덧셈공식으로 전개하고 $\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1$을 적용하여 유도됩니다. 연쇄법칙 적용 시 $(\sin(ax))' = a\cos(ax)$.

$x$

라디안 단위의 각도

a, ω

각속도 (연쇄법칙에서 안 미분)

$sec x$

$1/\cos x$ — $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$

1. 1
   $\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$ 출발
2. 2
   덧셈공식: $\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$ 대입
3. 3
   $= \lim_{h \to 0} \left(\sin x \cdot \dfrac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \dfrac{\sin h}{h}\right)$
4. 4
   $\lim_{h\to0}\dfrac{\cos h - 1}{h} = 0$, $\lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}{h} = 1$ 대입하면 $(\sin x)' = \cos x$

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📋 수능 기출 문제