판별식 — 갈루아의 마지막 밤이 남긴 선물

💡 왜 필요할까요?

화살이 목표물에 도달할 수 있는지, 로켓이 특정 고도에 도달 가능한지를 판별식으로 미리 판단한다. $D < 0$이면 불가능하다는 뜻 — 쓸데없는 계산을 아낀다!

📜 역사 이야기

1832년 5월 30일 새벽, 파리. 스물한 살의 천재 수학자 갈루아는 다음 날 아침 벌어질 결투를 앞두고 뜬눈으로 밤을 지새웠다. 그는 편지 한 장에 자신의 수학 이론을 미친 듯이 써 내려갔다. "시간이 없다(Je n'ai pas le temps)"를 여백에 적어가며. 그 편지에 담긴 내용이 바로 다항방정식의 근 존재 조건 이론, 오늘날 '갈루아 이론'의 원형이다. 다음 날 결투에서 복부를 맞은 갈루아는 하루 만에 세상을 떠났다. 하지만 그가 결투 전날 밤 남긴 수식들은 이후 100년간 수학의 방향을 바꿔놓았다. $D = b^2 - 4ac$라는 간단한 식 안에 방정식의 '운명'이 담겨 있다는 통찰, 그것이 갈루아의 유산이다.

"내일 아침 죽을지도 모른다. 그래도 오늘 밤 이 수식을 완성해야 한다." — 갈루아, 1832년 결투 전날 밤 편지에서 (재현)

🔬 직접 발견하기

📐 공식 이해하기

$ax^2 + bx + c = 0$의 판별식. $D$의 부호만으로 근의 개수와 종류를 결정한다.

$D$

판별식 (Discriminant)

$a$

이차항의 계수

$b$

일차항의 계수

$c$

상수항

1. 1
   근의 공식: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
2. 2
   $\sqrt{\cdot}$ 안의 $b^2 - 4ac$를 판별식 $D$라 정의
3. 3
   $D > 0$: $\sqrt{D}$가 양수 → $+\sqrt{D}$, $-\sqrt{D}$ 두 실근
4. 4
   $D = 0$: $\sqrt{D} = 0$ → 근이 하나 (중근): $x = -\dfrac{b}{2a}$
5. 5
   $D < 0$: $\sqrt{D}$가 허수 → 실수 범위에서 근 없음

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