방정식·부등식과 그래프

💡 왜 필요할까요?

경제학의 수요-공급 균형점은 두 직선 방정식을 연립해 교점을 구하는 문제입니다. 공급 $P = aQ + b$와 수요 $P = -cQ + d$를 연립하면 균형 가격과 수량을 정확히 계산할 수 있습니다. 물리학에서는 발사체 궤적(포물선)과 지면(직선)의 교점으로 착지 시점을 예측합니다.

📜 역사 이야기

17세기 프랑스의 법관이자 수학 애호가 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)는 법정 업무 틈틈이 인류 역사에 길이 남을 수학적 아이디어를 발전시켰습니다. 데카르트가 1637년 《기하학》을 출판하기 몇 년 전, 페르마는 이미 독자적으로 해석기하학의 핵심 원리를 완성해 놓고 있었습니다. 다만 그는 출판을 거의 하지 않아, 그 업적이 편지와 메모 속에 묻혀 있다가 뒤늦게 세상에 알려졌습니다. 페르마의 핵심 기여는 "방정식이 곡선을 정의한다"는 원리의 체계화였습니다. 그는 이차방정식 $y = ax^2 + bx + c$가 포물선을, $x^2 + y^2 = r^2$이 원을 나타낸다는 것을 좌표 언어로 명료하게 표현했습니다. 이를 통해 두 곡선의 교점은 두 방정식을 연립해 풀면 되고, 부등식 $y > f(x)$는 곡선의 '어느 쪽 영역'인지를 나타낸다는 아이디어가 완성되었습니다. 특히 페르마는 원과 직선이 만나는 조건을 분석하면서, 대입법으로 이차방정식을 얻고 판별식의 부호로 교점 개수를 결정하는 방법을 탐구했습니다. $D > 0$이면 두 점에서 교차, $D = 0$이면 접함, $D < 0$이면 만나지 않음 — 이 세 가지 경우의 수가 해석기하학의 핵심 도구가 되었습니다. 오늘날 이 원리는 도시 계획에서 원형 도로와 직선 도로의 교차점 설계, 경제학에서 공급·수요 곡선의 균형점 산출, 물리학에서 운동 궤적의 충돌 시점 계산에 이르기까지 다양한 분야에 응용됩니다. 페르마의 수(數)와 그래프의 결혼은 지금도 세상을 설계하는 언어로 살아 숨 쉬고 있습니다.

"방정식은 도형을 품고, 도형은 방정식을 낳는다." — 페르마의 서신에서

🔬 직접 발견하기

📐 공식 이해하기

두 방정식의 교점은 연립방정식을 풀어 구합니다. 직선끼리의 교점은 일차연립방정식, 원과 직선의 교점은 대입 후 이차방정식으로 구합니다. 판별식 $D = B^2 - 4AC$의 부호로 교점 개수(2개/$D>0$, 1개/$D=0$, 0개/$D<0$)를 판단합니다.

m_1, m_2

두 직선의 기울기

b_1, b_2

두 직선의 $y$절편

A, B, C

원과 직선 대입 후 얻는 이차방정식의 계수

$D$

판별식 $B^2 - 4AC$ — 교점 개수를 결정

1. 1
   두 직선의 교점: $y_1 = y_2$ 로 놓으면 $m_1 x + b_1 = m_2 x + b_2$ → $(m_1 - m_2)x = b_2 - b_1$ → $x = \dfrac{b_2-b_1}{m_1-m_2}$
2. 2
   원과 직선의 교점: $y = mx + b$를 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$에 대입 → 이차방정식 $Ax^2+Bx+C=0$ 획득
3. 3
   판별식 $D=B^2-4AC$: $D>0$ (두 점 교차), $D=0$ (접함), $D<0$ (만나지 않음)

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📋 수능 기출 문제