이차부등식 — 포물선으로 범위 찾기

💡 왜 필요할까요?

교량 하중 분석에서 충격력 $W(x) = -x^2 + 20x$(kN)가 안전 한계 100kN 이하인 속도 범위를 구할 때, $x^2 - 20x + 100 \geq 0$이라는 이차부등식을 풀어야 합니다. 이익 최대화, 투자 안전 범위, 물리 안전 속도 — 모두 이차부등식으로 표현됩니다.

📜 역사 이야기

수학에서 '크다'와 '작다'를 기호로 표현하기 전까지, 수학자들은 말로 범위를 설명해야 했습니다. 영국의 천문학자이자 수학자 토머스 해리엇은 1631년 사후 출판된 저서 《Artis Analyticae Praxis》에서 부등호 기호 $<$와 $>$를 처음 도입했습니다. 이 간단한 기호 하나가 수학 언어를 획기적으로 간결하게 만들었습니다. 해리엇은 사실 수학자보다 탐험가로 더 유명했습니다. 그는 1585년 월터 롤리 경의 북아메리카 탐험에 동행해 원주민 언어를 배우고 지도를 그렸으며, 1609년에는 갈릴레오보다 먼저 망원경으로 달 표면을 관측해 지도를 남겼습니다. 하지만 생전에 거의 출판하지 않아 역사에 잊혔고, 그의 부등호 기호만이 오늘날까지 살아남았습니다. 이차부등식은 해리엇의 부등호 기호가 등장한 후 이차방정식의 근(판별식 이론)과 결합되며 본격적으로 발전했습니다. 19세기 코시(Cauchy)와 바이어슈트라스(Weierstrass)가 해석학을 엄밀하게 정리하면서, 부등식은 단순 계산 도구를 넘어 수학 전체를 떠받치는 기둥이 되었습니다. 오늘날 이차부등식은 최적화·안전공학·경제 모델링의 언어로 쓰입니다.

"수학은 눈에 보이지 않는 것을 보이게 만드는 언어다." — 토머스 해리엇

🔬 직접 발견하기

📐 공식 이해하기

$a > 0$인 이차함수의 그래프는 위로 볼록한 포물선입니다. 판별식 $D = b^2 - 4ac$로 두 근 $\alpha < \beta$를 구한 뒤, 부등호 방향에 따라 해집합이 결정됩니다. $> 0$이면 포물선이 $x$축 위에 있는 범위($x < \alpha$ 또는 $x > \beta$), $< 0$이면 아래에 있는 범위($\alpha < x < \beta$)입니다.

$a$

이차항의 계수 ($a \neq 0$, 부호에 따라 포물선 방향 결정)

b^2-4ac

판별식 $D$ — 부등식의 해 존재 여부와 개수 결정

\alpha, \beta

이차방정식의 두 근 ($\alpha < \beta$)

$x$

부등식을 만족하는 범위(해집합)

1. 1
   이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 두 근 $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$)를 판별식으로 구한다: $\alpha, \beta = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
2. 2
   $a > 0$이면 포물선은 아래로 볼록: $x < \alpha$ 또는 $x > \beta$ 구간에서 $y > 0$, $\alpha < x < \beta$ 구간에서 $y < 0$
3. 3
   $D = 0$이면 두 근이 같으므로: $> 0$의 해집합은 $x \neq \alpha$인 모든 실수, $< 0$의 해집합은 없음
4. 4
   $D < 0$이면 실근이 없으므로: $a > 0$일 때 $> 0$의 해집합은 전체 실수, $< 0$의 해집합은 없음

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