일차함수 심화 — 기울기·교점·실생활 적용

💡 왜 필요할까요?

일차함수의 교점은 현실에서 '손익분기점'입니다. 두 요금제 중 어떤 것이 유리한지, 두 선수 중 누가 언제 앞서는지, 생산량이 얼마일 때 이익이 나는지 — 모두 일차함수 두 개의 교점을 찾는 문제입니다.

📜 역사 이야기

데카르트는 1637년 철학 저작 《방법서설》의 부록 《기하학》에서 좌표계를 도입했습니다. 전설에 따르면, 침대에 누운 채 천장 위의 파리를 보다가 "저 파리의 위치를 두 숫자로 표현할 수 있지 않을까?"라는 생각에서 $x$축과 $y$축이 탄생했다고 합니다. 이 아이디어 덕분에 대수(방정식)와 기하(도형)가 처음으로 연결되었습니다. $y = ax + b$처럼 함수를 그래프로 그릴 수 있게 된 것은 데카르트의 이 혁명적인 발상 덕분입니다.

"나는 생각한다, 고로 나는 존재한다."

🔬 직접 발견하기

📐 공식 이해하기

$a$는 기울기(직선의 가파름), $b$는 $y$절편($x = 0$일 때 $y$값)입니다. 두 직선 $y = a_1x + b_1$과 $y = a_2x + b_2$의 교점은 연립방정식 $a_1x + b_1 = a_2x + b_2$를 풀어 구합니다.

$a$

기울기 — $x$가 1 증가할 때 $y$의 증가량

$b$

$y$절편 — $x = 0$일 때의 $y$값 (직선이 $y$축과 만나는 점)

$x$

독립변수 (입력값)

$y$

종속변수 (출력값)

1. 1
   직선 위의 두 점 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$가 주어지면 기울기 $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$을 먼저 구합니다.
2. 2
   $a$와 한 점 $(x_1, y_1)$을 $y - y_1 = a(x - x_1)$에 대입해 $y$절편 $b$를 구합니다.
3. 3
   두 직선의 교점을 구하려면 $a_1x + b_1 = a_2x + b_2$로 놓고 $x$를 풀면, 그 값을 한 식에 대입해 $y$를 구합니다.
4. 4
   두 직선이 평행하면 $a_1 = a_2$이고 $b_1 \neq b_2$이므로 교점이 없고, $a_1 = a_2$이고 $b_1 = b_2$이면 두 직선이 일치하여 교점이 무수히 많습니다.

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