이차방정식 — 포물선이 품은 시간의 비밀

💡 왜 필요할까요?

공을 던져 올릴 때 $h = -5t^2 + 20t + 1$의 그래프가 그려진다. 땅($h=0$)에 닿는 순간 $t$를 구하면 공이 날아가는 시간을 알 수 있다. 이것이 물리·게임 개발·로켓 설계에 모두 쓰인다.

📜 역사 이야기

알콰리즈미는 830년경 바그다드의 '지혜의 집(Bayt al-Hikma)'에서 《알-키타브 알-무흐타사르 피 히사브 알-자브르 왈-무카발라》를 저술했다. 이 책에서 그는 이차방정식을 6가지 표준형으로 분류하고 기하학적 방법으로 풀었다. '알-자브르(al-jabr)'는 훗날 'algebra(대수학)'의 어원이 됐다. 약 300년 뒤인 1114년, 인도의 수학자 바스카라 2세는 오늘날 우리가 사용하는 근의 공식을 완성했다. 두 문명이 이어달리기처럼 완성한 공식이 바로 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$다.

"방정식을 푸는 것은 균형을 회복하는 것이다." — 알콰리즈미의 책 서문에서

🔬 직접 발견하기

📐 공식 이해하기

$ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$)의 해를 구하는 공식. $\pm$는 두 근이 존재함을 의미한다.

$a$

이차항의 계수 ($a \neq 0$)

$b$

일차항의 계수

$c$

상수항

$x$

방정식의 해(근)

1. 1
   $ax^2 + bx + c = 0$에서 양변을 $a$로 나누면 $x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0$
2. 2
   완전제곱식 만들기: $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
3. 3
   양변에 제곱근: $x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
4. 4
   정리하면 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

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📋 수능 기출 문제