근호의 계산 — 루트를 자유자재로

💡 왜 필요할까요?

전기 콘센트에서 나오는 220V는 사실 교류(AC) 전압의 실효값(RMS)입니다. 실제 최대 전압은 $220\sqrt{2} \approx 311\text{V}$! 근호 계산이 없으면 가전제품 설계가 불가능합니다. 또한 물리 진자의 주기 $T = 2\pi\sqrt{L/g}$에도 근호가 핵심입니다.

📜 역사 이야기

1572년 이탈리아의 수학자 봄벨리는 《대수학(L'Algebra)》을 출판하며 복잡한 근호 계산 규칙을 최초로 체계화했습니다. 그 이전에는 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$처럼 자연스러워 보이는 규칙조차 수학적으로 증명되지 않은 채 쓰이고 있었습니다. 봄벨리는 한발 더 나아가 $\sqrt{-1}$과 같은 '불가능해 보이는 수'까지 계산 규칙을 만들었는데, 이것이 훗날 허수(虛數, imaginary number)의 씨앗이 되었습니다. 그는 이런 수를 "궤변적인 수"라 부르면서도 꿋꿋이 연구를 이어갔고, 덕분에 오늘날 전기공학·양자역학의 기반이 마련되었습니다. 근호 계산의 핵심 아이디어: 1m × √2m의 직사각형 넓이는 √2 m²인데, 이것을 정사각형으로 바꾸면 한 변은 $\sqrt{\sqrt{2}}\,\text{m} = 2^{1/4}\text{m}$로 근호가 중첩됩니다. 봄벨리는 이런 중첩 근호도 단계별 규칙으로 풀 수 있음을 보였습니다.

"불가능해 보이는 수라도 규칙만 있으면 계산할 수 있다."

🔬 직접 발견하기

📐 공식 이해하기

근호끼리 곱하면 루트 안을 곱하고, 나누면 루트 안을 나눕니다. 분모의 근호를 없애는 것을 '분모유리화'라 합니다.

$a$

피제곱근수 (양수)

$b$

피제곱근수 (양수)

$c$

분자의 계수

1. 1
   곱셈 법칙: $(\sqrt{a})^2 = a$이므로 $(\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2 = a \times b$, 따라서 $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
2. 2
   나눗셈 법칙: $\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \dfrac{a}{b}$이므로 $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$
3. 3
   분모유리화: $\dfrac{c}{\sqrt{b}} \times \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \dfrac{c\sqrt{b}}{b}$ (분자·분모에 $\sqrt{b}$ 곱함)
4. 4
   간소화: $\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$ — 완전제곱수 인수를 근호 밖으로 꺼냄

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📋 수능 기출 문제