공간좌표 — 3차원 좌표계

💡 왜 필요할까요?

VR 헤드셋은 머리의 위치와 방향을 $(x, y, z)$와 회전 각도로 추적합니다. 건축 BIM 소프트웨어는 건물의 모든 구조물을 3D 좌표 데이터베이스로 관리합니다. GPS는 위성 3개의 3D 거리 방정식(구의 방정식)을 연립하여 위치를 계산합니다.

📜 역사 이야기

1637년, 르네 데카르트(René Descartes, 1596~1650)는 천장에 파리 한 마리가 앉아 있는 것을 보다가 번뜩이는 생각을 했습니다. "저 파리의 위치를 숫자로 정확히 표현할 수 없을까?" 방의 두 벽과 천장이 만나는 모서리를 원점으로 하면, 파리의 위치를 (가로, 세로, 높이) 세 숫자로 완벽히 나타낼 수 있었습니다. 이것이 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)의 탄생 이야기입니다. 비록 이 이야기가 후대의 창작일 수도 있지만, 데카르트가 《기하학(La Géométrie, 1637)》에서 수와 도형을 연결하는 방법을 최초로 체계화한 것은 역사적 사실입니다. 2차원 좌표계를 자연스럽게 3차원으로 확장하면 $z$축을 추가하면 됩니다. 오른손 법칙: 오른손으로 $x$축에서 $y$축 방향으로 손가락을 감으면 엄지손가락이 $z$축을 가리킵니다. 이 3D 좌표계는 뉴턴의 역학, 아인슈타인의 상대성이론, 현대 컴퓨터 그래픽스 모두의 기반입니다. 3D 공간에서 두 점 사이의 거리 공식은 피타고라스 정리를 두 번 적용한 것입니다. $xy$평면 거리 $d_{xy} = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$를 구한 뒤, 이를 밑변으로 하고 $\Delta z$를 수직변으로 하는 직각삼각형에서 빗변이 3D 거리가 됩니다. 구의 방정식 $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$는 중심 $(a,b,c)$에서 반지름 $r$ 거리에 있는 점의 집합이라는 정의에서 거리 공식으로 직접 유도됩니다.

"나는 생각한다, 고로 나는 존재한다." — 르네 데카르트

🔬 직접 발견하기

📐 공식 이해하기

3D 공간 두 점 $A(x_1,y_1,z_1)$, $B(x_2,y_2,z_2)$ 사이의 거리. 구의 방정식: $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$ (중심 $(a,b,c)$, 반지름 $r$)

x, y, z

3차원 좌표 성분

$r$

구의 반지름

(a, b, c)

구의 중심 좌표

1. 1
   2D 거리: $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ (피타고라스 정리)
2. 2
   3D 거리: $xy$평면 투영 거리 $d_{xy}$를 구한 뒤, $d = \sqrt{d_{xy}^2 + \Delta z^2} = \sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}$
3. 3
   구의 방정식: 중심 $(a,b,c)$에서 거리 $r$인 점 집합 → $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = r^2$
4. 4
   중점: $M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}, \dfrac{z_1+z_2}{2}\right)$

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📋 수능 기출 문제