인수분해 심화 — 이차식을 두 개로 쪼개라

💡 왜 필요할까요?

게임 개발자는 포물선 궤도를 $h(t) = -at^2 + bt + c$로 모델링하고, $h(t) = 0$을 인수분해해서 착지 시각을 계산합니다. 경제학에서는 수익 함수 $R(x) = x^2 - 5x + 6$의 영점을 인수분해로 구해 손익분기점을 찾습니다.

📜 역사 이야기

이차식 분해의 씨앗은 830년경 알콰리즈미가 바그다드에서 이차방정식을 기하학적으로 풀면서 뿌렸습니다. 그는 $x^2 + 10x = 39$를 "면적이 39인 직사각형을 정사각형으로 완성하기"로 시각화했는데, 이것이 인수분해의 원초적 아이디어입니다. 하지만 현대적인 인수분해 표기는 1591년 프랑스 수학자 비에트가 완성했습니다. 그는 숫자 대신 문자(변수)로 이차식을 표현하는 방법을 창안했고, 덕분에 $x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)$라는 일반 공식을 쓸 수 있게 되었습니다. 로켓 고도 $h = -5t^2 + 20t$가 언제 0이 되는지 알고 싶다면? $-5t^2 + 20t = 0$, $-5t(t - 4) = 0$, $t = 0$ 또는 $t = 4$초! 인수분해가 없었다면 착지 시각을 계산하는 데 훨씬 긴 방법이 필요했을 겁니다.

"대수학은 분석의 기술이다. 그것은 미지수를 알려진 것처럼 다룬다."

🔬 직접 발견하기

📐 공식 이해하기

이차식을 두 일차식의 곱으로 나타내는 것이 인수분해입니다. 합과 곱이 주어진 두 수를 찾는 것이 핵심입니다.

$a$

첫 번째 근에 대응하는 인수 상수

$b$

두 번째 근에 대응하는 인수 상수

$p$

x의 계수 (= a + b)

$q$

상수항 (= a × b)

1. 1
   $(x+a)(x+b)$를 전개하면: $x^2 + bx + ax + ab = x^2 + (a+b)x + ab$
2. 2
   역으로: $x^2 + px + q$ 꼴에서 합 $= p$, 곱 $= q$인 두 정수 $a, b$를 찾는다
3. 3
   찾으면: $x^2 + px + q = (x+a)(x+b)$ 성립
4. 4
   일반형 $acx^2 + (ad+bc)x + bd$는 $(ax+b)(cx+d)$로 인수분해 (조합 탐색 필요)

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📋 수능 기출 문제