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삼각함수 — 단위원으로 확장하다

🌊Lv.7삼각함수

스마트폰의 GPS는 어떻게 내 위치를 아는 걸까요? 위성이 보내는 신호 속에는 단위원 위의 점 하나, 즉 삼각함수가 숨어 있습니다.

💡 왜 필요할까요?

교류 전기(AC 220V)의 전압은 $V(t) = 220\sqrt{2}\sin(2\pi \cdot 60 \cdot t)$ 로 표현됩니다. 라디오 음파, GPS 위성 신호, MRI 기기의 자기장 — 모두 단위원 위를 도는 삼각함수입니다.

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📜 역사 이야기

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히파르코스

BC 150년경 · 로도스 섬, 고대 그리스

히파르코스(Hipparchus, BC 190~BC 120)는 역사상 최초로 삼각함수표를 작성한 천문학자이자 수학자입니다. 그는 니케아(현재 터키)에서 태어나 로도스 섬에서 활동하며 천문 관측을 위해 호(arc)와 현(chord)의 관계를 체계적으로 연구했습니다. 히파르코스의 핵심 아이디어는 원 위에서 호의 길이와 그에 대응하는 현의 길이 사이의 비율을 표로 정리하는 것이었습니다. 그가 사용한 '현의 함수(chord function)'는 오늘날 사인 함수의 두 배에 해당하는 값입니다. 이 표 덕분에 천문학자들은 별의 위치와 행성 궤도를 정밀하게 계산할 수 있었습니다. 오늘날 우리가 쓰는 단위원 정의는 훨씬 후대의 개념입니다. 인도 수학자 아리야바타(Aryabhata, 5세기)가 현 대신 반현(half-chord), 즉 오늘날의 사인(sine)을 도입했고, 아랍 수학자 알바타니(Al-Battani, 9세기)가 코사인을 추가했습니다. 단위원(반지름=1)을 기준으로 삼각함수를 정의하는 현대적 방식은 18세기 오일러에 의해 완성되었습니다. 히파르코스가 별을 관측하며 그리던 원 위의 점이, 2100년이 지나 GPS 위성의 좌표 계산과 교류 전기 회로 설계로 이어졌습니다. 단위원 위의 점 하나가 현대 문명의 기반이 된 것입니다.

"관측하고, 계산하고, 예측하라 — 수학은 하늘의 언어다."

🤩 히파르코스는 달까지의 거리를 삼각함수로 계산해 약 384,000km로 추정했는데, 현대 측정값(384,400km)과 거의 일치합니다. 2100년 전 계산!

🔬 직접 발견하기

📐 공식 이해하기

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \quad (\cos\theta, \sin\theta) \in \text{단위원}

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \quad (\cos\theta, \sin\theta) \in \text{단위원}

반지름 1인 단위원 위의 점 P의 좌표는 $P(\cos\theta, \sin\theta)$ 입니다. 피타고라스 정리에 의해 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ 이 항상 성립합니다. 호도법에서 $\theta$ 는 라디안 단위이며 $180° = \pi$ rad입니다.

$\theta$: 일반각 (라디안 또는 도수)
$\cos\theta$ \cos\theta: 단위원 위 점의 x좌표
$\sin\theta$ \sin\theta: 단위원 위 점의 y좌표
$\pi$: 원주율 ≈ 3.14159…
$1\text{ rad}$ 1\text{ rad}: $\dfrac{180°}{\pi} \approx 57.3°$

1
단위원: 원점 중심, 반지름 $r = 1$ 인 원 $x^2 + y^2 = 1$
2
각도 $\theta$ 에 대한 단위원 위의 점 $P = (x, y)$ 를 $P = (\cos\theta, \sin\theta)$ 로 정의
3
원의 방정식에 대입: $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ (피타고라스 항등식)
4
호도법: $1\text{ rad} = \dfrac{180°}{\pi}$ , 즉 $180° = \pi$ rad이므로 $90° = \dfrac{\pi}{2}$ rad

🧬 원리: 어떻게 탄생했나?

공식은 외우는 것이 아니라, 어디서 왔는지를 이해하는 것이에요

💡

탄생 배경

삼각함수는 원래 직각삼각형의 변의 비(sin = 대변/빗변, cos = 인접변/빗변)로 정의됐습니다. 그러나 이 정의는 예각(0°~90°)에서만 작동합니다. 단위원은 이 제한을 깨고, 음수 각도·둔각·360° 이상의 일반각까지 삼각함수를 확장합니다.

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핵심 관계식

단위원 위의 점 $P(\cos\theta, \sin\theta)$에서 피타고라스 정리를 적용하면 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$이 항등식으로 성립합니다. 이 관계식 하나가 삼각함수의 모든 항등식(이중각, 합차 공식 등)의 기초입니다. 또한 $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$는 단위원 위 점의 기울기를 나타냅니다.

단위원 위의 점 $P(\cos\theta, \sin\theta)$에서 피타고라스 정리를 적용하면 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$이 항등식으로 성립합니다. 이 관계식 하나가 삼각함수의 모든 항등식(이중각, 합차 공식 등)의 기초입니다. 또한 $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$는 단위원 위 점의 기울기를 나타냅니다.

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왜 공식을 외울 필요가 없나요?

반지름이 1이기 때문에 좌표가 곧 비율이 됩니다. $r = 1$ 이면 $x = r\cos\theta = \cos\theta$ , $y = r\sin\theta = \sin\theta$ 가 되어 변의 비와 좌표가 일치합니다. 호도법(라디안)은 '호의 길이 = 각도'가 성립하도록 단위를 설계한 것입니다 — 반지름 1인 원에서 각도 $\theta$ rad에 대응하는 호의 길이도 $\theta$ 입니다.